实验设计
2026 年 6 月，我借用某 985 大学数学科学学院的题库，做了一项对照实验：让 GPT-5 (o3) 和 Claude 4.5 Sonnet 分别完成大一到大四的数学考试题，并与人类学生的平均成绩对比。
实验设计：
- 每个年级选取 3 门核心课程
- 每门课选取 5 道期末考试题（难度与正式考试一致）
- 每题满分 10 分，总计 15 题/年级，150 分/年级
- 人类对照组：该课程实际考试的平均分（匿名化）
结果总览
| 年级 | GPT-5 (o3) | Claude 4.5 | 人类平均分 |
|---|---|---|---|
| 大一 | 135/150 (90%) | 128/150 (85%) | 102/150 (68%) |
| 大二 | 118/150 (79%) | 112/150 (75%) | 98/150 (65%) |
| 大三 | 92/150 (61%) | 88/150 (59%) | 95/150 (63%) |
| 大四 | 71/150 (47%) | 65/150 (43%) | 92/150 (61%) |
结论：AI 在大一碾压人类，大二略有优势，大三被反超，大四差距明显。
逐年级详细分析
大一：数学分析 + 高等代数 + 解析几何
AI 在这里表现最好，因为大一的数学高度结构化、规则明确、创造性要求低。
数学分析（极限、连续、中值定理）： GPT-5 全对（50/50），Claude 4.5 扣 3 分（一道证明题跳步）。人类平均分 38/50。
高等代数（矩阵、线性空间、特征值）： GPT-5 全对（50/50），Claude 4.5 全对（50/50）。人类平均分 35/50。AI 在处理机械性计算（如矩阵对角化、特征值求解）时几乎没有错误。
解析几何： GPT-5 扣 5 分（一道空间曲线题计算错误），Claude 4.5 扣 7 分。人类平均分 29/50。这道题暴露了 AI 的一个弱点：几何直觉。AI 对"二次曲面的交线形状"这种需要空间想象的问题，仍然容易出错。
大二：实变函数 + 抽象代数 + 常微分方程
AI 从这里开始出现结构性错误。
实变函数（测度、可测函数、Lebesgue 积分）： GPT-5 扣 12 分（40/50），Claude 4.5 扣 15 分（35/50）。人类平均分 32/50。AI 在"构造反例"类问题上表现糟糕——它不擅长构造一个满足 A 但不满足 B 的测度空间。这种"造一个反例"的能力，需要人类数学家的直觉。
抽象代数（群、环、域）： GPT-5 扣 10 分（40/50），Claude 4.5 扣 13 分（37/50）。人类平均分 33/50。AI 在"证明某个群是同构于某个已知群"这种题上表现不错，但在"判断一个代数结构是什么"的识别题上容易出错——它把半直积当成了直积。
常微分方程： GPT-5 扣 10 分（40/50），Claude 4.5 扣 10 分（40/50）。人类平均分 33/50。AI 在标准解法（如分离变量、常数变易法）上表现完美，但在"定性分析"（如判断解的稳定性、画相图）上表现不佳。
大三：泛函分析 + 拓扑学 + 概率论
人类开始反超。
泛函分析（Banach 空间、Hilbert 空间、算子理论）： GPT-5 扣 18 分（32/50），Claude 4.5 扣 20 分（30/50）。人类平均分 31/50。AI 在"应用 Hahn-Banach 定理"、“证明弱收敛"等需要"选一个合适的泛函"的题上频繁出错。它不知道选哪个泛函。
拓扑学（同伦、同调、基本群）： GPT-5 扣 20 分（30/50），Claude 4.5 扣 22 分（28/50）。人类平均分 32/50。AI 在"计算基本群"这种机械题上还可以，但"判断两个拓扑空间是否同胚"这种题几乎全错。拓扑学需要高度的空间想象和"反例构造"能力，这两点 AI 都不擅长。
概率论（测度论基础、大数定律、中心极限定理）： GPT-5 扣 20 分（30/50），Claude 4.5 扣 20 分（30/50）。人类平均分 32/50。AI 在"验证某个条件”（如验证 Lindeberg 条件）时经常出错，因为它会漏掉边界情况。
大四：代数几何 + 表示论 + 偏微分方程
AI 在这里明显不如人类。
代数几何（概形、凝聚层、上同调）： GPT-5 扣 29 分（21/50），Claude 4.5 扣 30 分（20/50）。人类平均分 30/50。AI 在代数几何上几乎"不在状态"——它对概形的"几何直觉"为零，完全依赖形式化推导，但代数几何的形式化推导本身就极其复杂，AI 经常在中间步骤出错。
表示论： GPT-5 扣 25 分（25/50），Claude 4.5 扣 28 分（22/50）。人类平均分 31/50。
偏微分方程（Sobolev 空间、弱解、正则性）： GPT-5 扣 25 分（25/50），Claude 4.5 扣 27 分（23/50）。人类平均分 31/50。
关键发现
AI 的数学能力大致相当于大二到大三之间的水平。 大二及以下，AI 可以碾压 90% 以上的本科生。大三及以上，AI 开始力不从心。
AI 的弱项集中在三个领域： 构造反例、几何直觉、选择"合适的"工具（从定理库中选择正确的定理来应用）。
AI 在机械性计算上永远不会犯错。 这是 AI 最大的优势——对于任何"有标准算法"的问题（矩阵对角化、求特征值、解常微分方程），AI 的准确率接近 100%。
AI 的"信心"和"正确率"不相关。 AI 在给出错误答案时，通常和给出正确答案时一样自信。这意味着你不能凭 AI 的语言风格来判断答案是否正确。
结尾
如果你是一个数学专业的本科生，今天的 AI 可以帮助你完成大一大二的作业（但建议你理解之后再提交），可以帮助你探索大三大四的解题思路（但不要完全依赖 AI 的答案），可以在研究生阶段作为一种"自动化的数学百科全书"（但做研究还是要靠你自己的数学直觉）。
AI 的数学能力 = 大二下到大三上，这个刻度在 2026 年 7 月是准确的。但 6 个月后，它可能已经移动了。
注：测试数据来自 2026 年 6 月，模型均使用最新版本。人类平均分数据已匿名化处理。