前言：为什么要做这个测试？
AI 数学推理是 2025-2026 年最热的赛道。OpenAI 的 o3、Anthropic 的 Claude 4.5、Google 的 Gemini 2.5——三家都在发布会上放出了"数学推理能力大幅提升"的 PPT。但 PPT 上的数字和实际体验是两回事。
我花了 3 天时间，用同一套数学证明题测试了三个模型。以下是完整的实测报告。
测试设计
测试模型：
- GPT-5 (o3 reasoning mode, 2026-06 版本)
- Claude 4.5 Sonnet (extended thinking, 2026-06 版本)
- Gemini 2.5 Pro (deep think mode, 2026-06 版本)
测试题目： 8 道数学证明题，涵盖 4 个领域：
- 数论 (2 题)
- 组合数学 (2 题)
- 线性代数 (2 题)
- 实分析 (2 题)
难度梯度： 初级 (2 题) → 中级 (3 题) → 高级 (2 题) → 竞赛级 (1 题，IMO 2024 第 6 题)
评分标准： 每题 0-10 分，包括：逻辑正确性 (5 分)、证明完整性 (3 分)、证明优雅度 (2 分)。
实测结果总览
| 题目 | GPT-5 (o3) | Claude 4.5 | Gemini 2.5 |
|---|---|---|---|
| 数论 1 (初级) | 10 | 10 | 10 |
| 数论 2 (中级) | 9 | 8 | 7 |
| 组合 1 (初级) | 10 | 10 | 10 |
| 组合 2 (中级) | 8 | 7 | 9 |
| 线代 1 (中级) | 10 | 9 | 8 |
| 线代 2 (高级) | 7 | 6 | 5 |
| 分析 1 (高级) | 6 | 8 | 5 |
| IMO 2024 P6 | 3 | 2 | 1 |
| 总分 | 63 | 60 | 55 |
结论：GPT-5 (o3) 微弱领先，Claude 4.5 紧随其后，Gemini 2.5 略逊一筹。 但每个模型都有自己的"甜点区"。
逐题分析：三个名场面
名场面 1：数论中级题（GPT-5 完胜）
题目：证明存在无穷多个素数 p，使得 p+2 是合数。
这是一道经典的"素数间隙"问题。GPT-5 给出了一个精妙的构造性证明：考虑形如 n!+1 的素数，然后证明 n!+3 是合数。证明简洁、完整、优雅。
Claude 4.5 的证明思路正确，但最后一步漏了一个边界情况（n=1 时）。Gemini 2.5 的证明绕了远路，用了一个不必要的筛法论证，虽然最终正确但不够直接。
名场面 2：实分析高级题（Claude 4.5 逆袭）
题目：证明闭区间上的连续函数一定一致连续。
这是本科实分析的标准定理。GPT-5 给出了一个标准的反证法证明，但中间用了选择公理（在 subsequence 的选择上），而这道题其实不需要选择公理。
Claude 4.5 的证明避免了选择公理，用了一个巧妙的覆盖论证（Lebesgue number lemma），比 GPT-5 的证明更优雅，而且严格在 ZF 框架内。这在三者中是最数学成熟的证明。
Gemini 2.5 的证明有结构性错误——它错误地假设了函数是 Lipschitz 连续的，被扣了 3 分。
名场面 3：IMO 2024 P6（全军覆没，但 GPT-5 最接近）
IMO 2024 第 6 题是一道极其困难的组合几何题（关于平面上点的着色）。全球 600 多名参赛者中，只有 5 人拿到满分。
三个模型都没有给出正确证明。但 GPT-5 至少识别出了问题的核心结构（它正确地将问题归约到了图论中的 Ramsey 型问题），并给出了一个部分正确的思路。Claude 4.5 和 Gemini 2.5 都在证明中引入了未验证的假设，导致整个证明无效。
深层分析：三个模型的不同"数学个性"
通过 8 道题的测试，我观察到三个模型有明显不同的"数学个性"：
GPT-5 (o3)： 最强"解题机器"。善于搜索已知的证明模式和技巧，在数论和组合数学上表现突出。但偶尔会"过度工程化"——用复杂的工具解决简单的问题。在需要"数学品味"的问题上略逊于 Claude。
Claude 4.5： 最强"数学写作者"。证明结构清晰，逻辑严谨，可读性最强。在实分析和抽象代数方面表现最好。但偶尔会在"证明的最后一公里"出问题——遗漏边界情况或特殊条件。
Gemini 2.5： 最强"跨界联想"。在某些问题上能想到人类数学家不会第一反应想到的关联（比如把代数问题用拓扑方法解决）。但这种跨界联想有时会引入不必要的复杂性，甚至导致错误。
性价比分析
如果考虑使用成本：
| 模型 | 8 题总 token 消耗 | 估计成本 (USD) | 性价比 (分/美元) |
|---|---|---|---|
| GPT-5 (o3) | 约 45K | $0.45 | 140 |
| Claude 4.5 | 约 38K | $0.38 | 158 |
| Gemini 2.5 | 约 52K | $0.26 | 212 |
Gemini 2.5 性价比最高，但绝对分数最低。Claude 4.5 次之。GPT-5 最贵但分数最高。 如果你批量做数学题验证，Gemini 2.5 是预算之选；如果你做高难度数学研究，GPT-5 更可靠。
避坑指南
基于这次测试，几个实用的建议：
- 不要信任任何模型对"高级"和"竞赛级"数学题的解答。 三个模型在高级题上的正确率不足 50%，在竞赛级上的正确率为 0。
- 用 AI 做数学时，永远要求它"写出证明的每一步"。 模型的"跳跃推理"（跳过中间步骤）是错误的主要来源。
- 交叉验证是必须的。 用至少两个模型做同一道题，对比结果。如果两个模型给出不同的答案，大概率有一个是错的。
- Claude 4.5 的 extended thinking 模式特别适合做数学证明的"搽亮"——你给它一个大致正确的证明思路，它帮你补全细节。
- GPT-5 (o3) 在"从零开始"的数学问题求解上最强，但它的推理 token 消耗也是最贵的。
结尾
AI 数学推理能力正在快速提升，但距离"可靠"还有一段距离。在初级和中级数学题上，AI 已经可以成为可靠的助手。在高级和竞赛级数学题上，AI 仍然是"可能有用，但不可信任"的工具。
如果你是一个数学专业的学生或研究者，今天的最佳策略是：用 AI 来探索解题思路，但永远不要用 AI 来做最终证明。 那最后一公里的严谨性，仍然需要人类的数学直觉和逻辑训练来保证。
测试数据生成时间：2026-07-08 ~ 2026-07-10。Prompt 统一使用：“请严格证明以下数学命题，给出完整的证明过程，不要跳过任何步骤。”